Un ángulo debe tener tres características:
Referencia: Desde dónde se mide (línea OA en la figura de la derecha).
Amplitud: La magnitud medida del ángulo («el número» para ser más explícito).
Sentido: Indica hacia dónde se mide, a partir de la línea de referencia.
Los ángulos horizontales son una de las cinco mediciones que se realizan en topografía plana (Ver capítulo 2), dentro de ellos podemos encontrar:
- Ángulos internos
- Ángulos externos
- Ángulos derechos (medidos en el sentido de las manecillas del reloj)
- Ángulos izquierdos (medidos en contra del sentido de las manecillas del reloj)
- Ángulos de deflexión (medidos desde la prolongación de una línea hasta la siguiente, pueden ser izquierdos o derechos)
Todos ellos se ilustran en la figura que sigue, la cual corresponde a un polígono cerrado, sin embargo, los mismos tipos de ángulos se pueden encontrar en una poligonal abierta.
Referencia
En topografía se suelen encontrar tres tipos de líneas de referencia para medir los ángulos horizontales: el Norte (o Sur) magnético, el Norte (o Sur) geográfico y el Norte (o Sur) arbitrario. La escogencia de la referencia depende de la precisión e importancia del levantamiento, de los instrumentos de los que se disponga y de la posibilidad de encontrar puntos de amarre, es decir, puntos que señalen alguna referencia establecida previamente con levantamientos muy precisos.
1. Magnética
Nuestro planeta está rodeado por un campo magnético cuyo origen es aún discutido. Se cree que se origina en las corrientes de la región ígnea de la Tierra, como consecuencia del movimiento de partículas cargadas eléctricamente, o, probablemente, son las corrientes de convección que se originan por el calor del núcleo. Quizás el campo magnético terrestre sea el producto de la combinación de las corrientes de convección con los efectos de la rotación terrestre.1
Sea cual sea su origen, el campo magnético de la Tierra ha tenido una importancia capital en la topografía, ya que hace que el planeta se comporte como un gran imán cuyo polo sur se encuentra al Norte del planeta y, por lo tanto, que el polo norte de una aguja imantada (brújula) señale desde cualquier parte2una misma dirección3, que ha dado en llamarse el Norte magnético de la Tierra y que corresponde al polo Sur del imán que representa la Tierra (en la figura de la derecha), brindando una línea más o menos estable para tomar como referencia. Esa línea va a estar determinada por el punto desde el que se este realizando la observación (estación) y el Polo Norte Magnético. Vale la pena mencionar que algunas brújulas señalan el Polo Sur Magnético y son especialmente usadas en el hemisferio Sur del planeta, pero no son muy comunes. (¡yo no las conozco! )
Los Polos Magnéticos se definen como el punto en la superficie de la Tierra donde las líneas del campo magnético son perpendiculares a la superficie terrestre. La mayoría de brújulas señalan el Polo Norte Magnético, que actualmente se ubica sobre territorio canadiense, cerca de 1 800 km al Sur del Polo Norte Geográfico4.
El campo magnético de la Tierra está sujeto a variaciones seculares (a lo largo de las eras geológicas), anuales, e incluso diarias (también se producen inversiones magnéticas que consisten en cambio diametral de la posición de los polos magnéticos); razón por la cual en la actualidad no se utiliza extensamente la Norte magnética como referencia en levantamientos de precisión.
2. Geográfica
Gracias a Nicolás Copérnico, que revivió (sin proponérselo) los pensamientos de Aristarco de Samos, en 1543 se empezó a pensar de nuevo en que la Tierra giraba y que lo hacía al rededor del Sol, en directa oposición a las creencias reinantes desde aproximadamente 2 milenios antes en el viejo mundo, de que la Tierra el centro del Universo y todo giraba al rededor de ella, como lo explicaba Ptolomeo5.
Ahora sabemos mucho más sobre la Tierra y su posición en el Universo, entendemos mejor los movimientos que realiza: la rotación, que dura más o menos un día y se presenta al rededor de su propio eje, y la traslación, que dura aproximadamente un año y se da al rededor del Sol. Para definir la referencia geográfica interesa el eje de rotación de la Tierra, que es una línea inclinada imaginaria que atraviesa al planeta, como uniendo los puntos sobre los que se sostiene un globo terráqueo como el de la foto. Los extremos de esa línea marcan los polos geográficos.
Los Polos Geográficos de la Tierra se definen como los puntos en su superficie que se cortan con el eje de rotación del planeta. El Norte Geográfico (también llamado Norte verdadero o franco) es usado con más frecuencia en la actualidad como referencia para medir ángulos, pues no presenta variaciones6 como las de los polos magnéticos, el inconveniente es que debe estar señalado con puntos establecidos con levantamientos de altísima precisión -que pueden ser topográficos o astronómicos-, o ser medido con GPS.
3. Arbitraria
Cuando no se dispone de los medios necesarios para ubicar alguna de las referencias mencionadas anteriormente, o no se requiere “amarrar” los levantamientos a tales referencias para futuras revisiones, se puede optar por escoger un punto o una línea más o menos estable cerca o en el interior de la zona de trabajo como referencia arbitraria. El punto escogido puede ser la arista de una edificación o la junta de un pavimento, en fin, cualquiera que pueda ser fácilmente reconocible y utilizable.
Cuando se utiliza una referencia arbitraria debe anotarse en los registros de campo, junto con su ubicación y descripción.
Amplitud
La amplitud hace referencia a la magnitud del giro existente entre la línea de referencia y la línea de interés (OB en la primera figura del artículo). Usualmente cuando se habla de un ángulo se menciona únicamente su amplitud, es decir, su valor numérico, también conocido como distancia angular.
Unidades de medida angular
La unidad del Sistema Internacional para los ángulos planos es el radián,que se define como el ángulo interno que describe un arco circular de longitud igual al radio del círculo. Una circunferencia completa describe un ángulo de 2π rad . Para las mediciones que se realizan en topografía rara vez se utilizan los radianes, pues es más difícil su comprensión y para medidas de precisión se requiere un buen número de posiciones decimales para describir un ángulo.
Existe otra unidad aceptada por el SI -que no pertenece a él-, llamadagrado sexagesimal, que es equivalente a 1/180 radianes y que a su vez se divide en minutos (un minuto es igual a 1/60 grados sexagesimales) y en segundos (un segundo es 1/3600 grados ó 1/60 minutos). Una circunferencia completa describe un ángulo de 360º00′00” (esta es la notación que se utiliza). Los grados sexagesimales son los más usados en topografía y usualmente se refieren como grados simplemente.
El sistema sexagesimal se llama así porque está basado en múltiplos de 60, por eso:
- 1 min = 1′ = 60 s = 60”
- 1 grado = 1º = 60′ = 3 600”
Una circunferencia se divide en cuatro cuadrantes, cada uno de 90º que corresponden a un ángulo recto.
De manera similar se establecen los grados centesimales, que a diferencia de los sexagesimales, están en base 100, es decir:
- 1 min = 1′ = 100 s = 100”
- 1 grado centesimal = 1º = 100′ = 10 000”
Por lo tanto en este caso la circunferencia queda dividida en cuatro cuadrantes de 100º cada uno (equivalentes a un ángulo recto), por lo que en este sistema el círculo completo describe un ángulo de 400º.
Sentido
El sentido corresponde a la dirección del giro en la que se mide el ángulo, desde la línea de referencia hasta la línea de interés. Lo importante en la topografía es que existen dos sentidos:
- A la derecha, cuando se mide a favor de las manecillas del reloj. Los ángulos a la derecha se consideran positivos (+).
- A la izquierda, si se mide en el sentido contrario al de las manecillas del reloj. Los ángulos a la izquierda se toman como negativos (-).
Lo más común en las mediciones topográficas es tomar los ángulos hacia la derecha, pues los instrumentos (tránsitos y teodolitos) opto-mecánicos (que entregan los resultados mediante números finamente grabados en un disco y presentados a través de diferentes lentes), ampliamente utilizados antes del boom de los aparatos electrónicos, sólo permiten ángulos en esa dirección. Los equipos más modernos cambian ángulos derechos a izquierdos con el toque de un botón, pero se conserva la costumbre de medir ángulos a la derecha, excepto cuando se trata de ángulos de deflexión.
De cualquier manera, es necesario anotar en los apuntes de campo si los ángulos se miden a la derecha o la izquierda en el levantamiento de una poligonal cerrada. Cuando el levantamiento es sobre una poligonal abierta cada ángulo (de deflexión) debe señalar su sentido mediante letras, por ejemplo: 28º12′30” D, indica que el ángulo fue medido a favor de las manecillas del reloj (derecha), mientras que 28º12′30” I corresponde a un ángulo izquierdo; los dos ángulos, aunque tienen la misma magnitud y pueden tener la misma referencia, son diferentes porque están medidos en sentidos contrarios.
Para evitar confusiones se utilizan direcciones estandarizadas, como elRumbo y el Azimut.
RUMBO
El rumbo de una línea es el ángulo horizontal agudo (<90°) que forma con un meridiano de referencia, generalmente se toma como tal una línea Norte-Sur que puede estar definida por el N geográfico o el N magnético (si no se dispone de información sobre ninguno de los dos se suele trabajar con un meridiano, o línea de Norte arbitraria).
Como se observa en la figura, los rumbos se miden desde el Norte (línea ON) o desde el Sur (línea OS), en el sentido de las manecillas del reloj si la línea a la que se le desea conocer el rumbo se encuentra sobre el cuadrante NOE o el SOW; o en el sentido contrario si corresponde al cuadrante NOW o al SOE.
Como el ángulo que se mide en los rumbos es menor que 90° debe especificarse a qué cuadrante corresponde cada rumbo.
Por ejemplo en la figura las líneas mostradas tienen los siguientes rumbos:
Línea | RUMBO |
OA | N30°E |
OB | S30°E |
OC | S60°W |
OD | N45°W |
Como se puede observar en la notación del rumbo se escribe primero la componente N o S del cuadrante, seguida de la amplitud del ángulo y por último la componente E o W.
Azimut
El azimut de una línea es el ángulo horizontal medido en el sentido de las manecillas del reloj a partir de un meridiano de referencia. Lo más usual es medir el azimut desde el Norte (sea verdadero, magnético o arbitrario), pero a veces se usa el Sur como referencia.
Los azimutes varían desde 0° hasta 360° y no se requiere indicar el cuadrante que ocupa la línea observada. Para el caso de la figura, las mismas líneas para las que se había encontrado el rumbo tienen el siguiente azimut:
Línea | AZIMUT |
OA | 30° |
OB | 150° |
OC | 240° |
OD | 315° |
Contra-rumbo y Contra-azimut (Rumbo o azimut inverso)
Cuando se desea conocer la dirección de una línea se puede ubicar un instrumento para medirla en cualquiera de sus puntos extremos, por lo tanto se llaman rumbo y azimut inversos a los observados desde el punto contrario al inicial. Para que quede más claro, si en el ejemplo de la figura se midieron primero los rumbos y azimutes desde el punto O (líneas OA, OB, OC y OD), el contra-rumbo y contra-azimut de cada línea corresponde a la dirección medida en sentido opuesto, desde cada punto hasta O (líneas AO, BO, CO y DO).
Cuando se trata de rumbos, para conocer el inverso simplemente se cambian las letras que indican el cuadrante por las opuestas (N <-> S y E <-> W). De manera que para la figura se tiene:
Línea | RUMBO | CONTRA-RUMBO |
OA | N30°E | S30°W |
OB | S30°E | N30°W |
OC | S60°W | N60°E |
OD | N45°W | S45°E |
Por el contrario, si se trata de azimutes, el inverso se calcula sumándole 180° al original si éste es menor o igual a 180°, o restándole los 180° en caso de ser mayor.
Contra-Azimut = Azimut ± 180°
Para la figura mostrada se observan los siguientes azimutes inversos:
Línea | AZIMUT | CONTRA-AZIMUT |
OA | 30° | 30°+180° = 210° |
OB | 150° | 150°+180° = 330° |
OC | 240° | 240°-180° = 60° |
OD | 315° | 315°-180° = 135° |
Vale la pena volver a decir que en ningún caso un rumbo (o un rumbo inverso) puede ser mayor a 90°, ni un azimut (o contra-azimut) mayor a 360°.
Conversión de Rumbo a Azimut
Para calcular azimutes a partir de rumbos es necesario tener en cuenta el cuadrante en el que se encuentra la línea. Observando la figura anterior se puede deducir la siguiente tabla:
Cuadrante | Azimut a partir del rumbo |
NE | Igual al rumbo (sin las letras) |
SE | 180° – Rumbo |
SW | 180° + Rumbo |
NW | 360° – Rumbo |
Se puede comprobar revisando los valores que aparecen en la figura.
Conversión de Azimut a Rumbo
Observando también la figura se ve que el cuadrante de la línea depende del valor del azimut así:
Azimut | Cuadrante | Rumbo |
0° – 90° | NE | N ‘Azimut’ E |
90° – 180° | SE | S ‘180° – Azimut’ E |
180° – 270° | SW | S ‘Azimut – 180°’ W |
270° – 360° | NW> | N ‘360° – Azimut’ W |
Cálculo de Azimutes en poligonales
Una poligonal, sea abierta o cerrada, es una sucesión de distancias y direcciones (rumbo o azimut) formadas por la unión de los puntos en los que se armó el instrumento que se usó para medirlas (puntos de estación). Cuando se ubica el instrumento en una estación se puede medir directamente el azimut de la siguiente línea a levantar (si se conoce la dirección del N o si se “sostiene” el contra-azimut de la línea anterior), sin embargo, en ocasiones se mide el ángulo correspondiente entre las dos líneas que se intersectan en el punto de estación (marcando “ceros” en el ángulo horizontal del instrumento cuando se mira al punto anterior), a este último ángulo se le va a llamar “ángulo observado”.
Si el ángulo observado se mide hacia la derecha (en el sentido de las manecillas del reloj, que es el mismo en el que se miden los azimutes) se puede calcular el azimut de la siguiente línea con la siguiente expresión:
Azimut línea siguiente = Contra-azimut de la línea anterior + Ángulo observado
Se debe aclarar que si el resultado es mayor a 360° simplemente se le resta este valor.
En la figura se observa que si el azimut conocido corresponde al de la línea AB (ángulo NAB en rojo), por lo tanto el contra-azimut es el ángulo NBA (también en rojo). El ángulo observado, medido en el sentido de las manecillas del reloj con el instrumento estacionado en el punto B es el ángulo ABC (en verde). El azimut que se desea conocer es el de la línea BC (ángulo NBC en azul). Por lo tanto se tiene la siguiente expresión:
Azimut BC = Contra-Azimut AB + Ángulo observado en B
Azimut BC = <NBA + <ABC
Como es evidente que el resultado será mayor que 360° (en este caso en particular) entonces el azimut de la línea BC será:
Azimut BC = (<NBA + <ABC) – 360°
Esta expresión es válida sólo si el ángulo observado está medido en el mismo sentido del azimut (derecha), sin importar si es interno o externo.
Si se trata de calcular rumbos se pueden luego convertir los azimutes calculados de la forma anterior.
Notas
1. Wikipedia, la enciclopedia libre. Campo magnético terrestre
Bibliografía
Paul R. Wolf y Russel C. Brinker. Topografía. Novena Edición. Alfaomega. México, 1997
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